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arctanx的导数是什么(导数的基本公式)

作者吴磊 • • 浏览

　　arctanx的导数是y=arctanx，x=tany，dx/dy=sec²y=tan²y+1，dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tan²y+1)=1/(1+x²)。导数的四则运算(u与v都是关于x的函数)：1、(u±v)'=u'±v';2、(u*v)'=u'*v+u*v';3、(u/v)'=(u'*v-u*v')/v²。

　　arctanx的导数为1/(1+x²)。求导：令y=arctanx，则x=tany。对x=tany这个方程“=”的两边同时对x求导，则(x)'=(tany)';1=sec²y*(y)'，则(y)'=1/sec²y又tany=x，则sec²y=1+tan²y=1+x²得，(y)'=1/(1+x²)。

　　导数的基本公式

　　C'=0(C为常数)、(x^n)'=nx^(n-1)、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx、(tanx)'=sec²x、(secx)'=tanxsecx

　　导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

　　导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

　　反正切函数arctanx的导数

　　(arctanx)'=1/(1+x^2)

　　函数y=tanx,(x不等于kπ+π/2,k∈Z)的反函数，记作x=arctany，叫做反正切函数。其值域为(-π/2,π/2)。反正切函数是反三角函数的一种。

　　反正切函数arctanx的求导过程

　　设y=arctanx

　　则x=tany

　　因为arctanx′=1/tany′

　　且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y

　　则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

　　所以arctanx的导数是1/1+x²。

　　其他常用公式

　　(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

　　(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)

　　三角函数求导公式

　　(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

　　(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

　　(arctanx)'=1/(1+x^2)

　　(arccotx)'=-1/(1+x^2)

　　(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

　　(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

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